Cách Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Logarit

  -  

Bài viết trình bày cách thức search tập xác định của hàm số nón và hàm số logarit, đó là dạng toán thù cơ phiên bản vào chương trình Giải tích 12 chương thơm 2.

1. Phương pháp search tập khẳng định của hàm số nón cùng hàm số logaritTập khẳng định của hàm số $y = f(x)$ là tập những giá trị $x in R$ làm thế nào để cho tồn tại $f(x) in R.$• Hàm số mũ $y = a^varphi (x)$ xác minh khi:+ Nếu $a > 0$ và $varphi (x)$ xác định.+ Nếu $a = 0$ thì $varphi (x) e 0.$+ Nếu $a • Hàm số logarit $y = log _avarphi (x)$ khẳng định khi $a > 0$, $a e 1$ và $varphi (x)$ xác định, $varphi (x) > 0.$Trong trường phù hợp gồm chủng loại số thì nên có ĐK mẫu mã số xác minh cùng không giống $0$, nếu như gồm biểu thức cất ẩn số trong vết cnạp năng lượng bậc chẵn, biểu thức buộc phải khẳng định với không âm.

2. Một số ví dụ minh họaví dụ như 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = sqrt log _2(3x + 4) .$

Hàm số xác định khi $left{ eginarray*20l3x + 4 > 0\log _2(3x + 4) ge 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l3x + 4 > 0\3x + 4 ge 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow 3x + 3 ge 0$ $ Leftrightarrow x ge – 1.$Vậy tập xác định $D = < – 1, + infty ).$

lấy ví dụ như 2: Tìm tập xác minh của hàm số:a) $y = sqrt 16 – x^2 log _2left( x^2 – 5x + 6 ight).$b) $y = sqrt x^2 – 25 + log left( 42 + x – x^2 ight).$

a) Hàm số xác định khi $left{ eginarray*20l16 – x^2 ge 0\x^2 – 5x + 6 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l – 4 le x le 4\x 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ {eginarray*20l{ – 4 le x 3 endarray ight.$Vậy $D = < – 4,2) cup (3,4>.$b) Tương từ bỏ, ta có: $left{ eginarray*20lx^2 – 25 ge 0\42 + x – x^2 > 0endarray ight.$Vậy $D = ( – 6, – 5| cup <5,7).$

lấy ví dụ như 3: Tìm tập xác minh của hàm số:a) $y = sqrt x^2 + x – 2 .log _3left( 9 – x^2 ight).$b) $y = sqrt 12 – x – x^2 .log left( x^2 – 4 ight).$

Đáp án:a) $D = ( – 3, – 2| cup <1,3).$b) $D = < – 4, – 2) cup (2,3>.$

ví dụ như 4: Tìm tập khẳng định với tập giá trị của hàm số: $y = sqrt log _2left( 7 – 2x – x^2 ight) .$

Hàm số xác định khi: $left{ eginarray*20l7 – 2x – x^2 > 0\log _2left( 7 – 2x – x^2 ight) ge 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow 7 – 2x – x^2 ge 1$ $x^2 + 2x – 6 le 0$ $ Leftrightarrow – 1 – sqrt 7 le x le – 1 + sqrt 7 .$Vậy tập xác minh là $D = left< – 1 – sqrt 7 , – 1 + sqrt 7 ight>.$Ta có $forall x in D$: $log _2left( 7 – 2x – x^2 ight) ge 0$ $ Rightarrow y ge 0.$Vậy tập quý hiếm của hàm số là $<0, + infty ).$

lấy một ví dụ 5: Tìm tập xác định của các hàm số:a) $y = sqrt log _frac13(x – 3) – 1 .$b) $y = sqrt log _frac12fracx – 1x + 5 .$c) $y = sqrt log _frac15left( log _5fracx^2 + 1x + 3 ight) .$

a) Hàm số khẳng định khi $left{ eginarray*20lx – 3 > 0\log _frac13(x – 3) – 1 ge 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ {eginarray*20lx > 3\x – 3 le frac13 Leftrightarrow 3 endarray ight.$Vậy $D = left( 3,frac103 ight>.$b) Lập điều kiện: $left{ eginarray*20lfracx – 1x + 5 > 0\log _frac12fracx – 1x + 5 ge 0endarray ight.$Giải hệ ta có $x > 1.$Vậy $D = (1, + infty ).$c) Hàm số xác định khi $left eginarray*20llog _frac15left( log _5fracx^2 + 1x + 3 ight) ge 0\log _5fracx^2 + 1x + 3 > 0\fracx^2 + 1x + 3 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow 1 fracx^2 – 5x – 14x + 3 le 0\fracx^2 – x – 2x + 3 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ {eginarray*20lx – 3 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20l{ – 2 le x 2 endarray ight.$Vậy tập khẳng định là $D = < – 2, – 1) cup (2,7>.$

ví dụ như 6: Tìm tập xác định của các hàm số:a) $y = log _2sqrt fracx – 3x + 1 .$b) $y = sqrt log _frac12fracx – 1x + 5 – log _2sqrt x^2 – x – 6 .$c) $y = log _3fracx^2 + 4x + 3x – 2.$

a) Lập điều kiện $left{ eginarray*20lx e – 1\fracx – 3x + 1 > 0endarray ight.$Suy ra $D = ( – infty , – 1) cup (3, + infty ).$b) $left{ eginarray*20llog _frac12fracx – 1x + 5 ge 0\x^2 – x – 6 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ {eginarray*20l0 x 3endarray ight.$Suy ra $D = (3, + infty ).$c) $fracx^2 + 4x + 3x – 2 > 0.$Suy ra $D = ( – 3, – 1) cup (2, + infty ).$

lấy một ví dụ 7: Tìm tập khẳng định của hàm số: $y = log left( – x^2 + 3x + 4 ight)$ $ + frac1sqrt x^2 – x – 6 .$

Hàm số khẳng định khi: $left{ eginarray*20l – x^2 + 3x + 4 > 0\x^2 – x – 6 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ {eginarray*20l – 1 x 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow 3 Tập xác định của hàm số là $D = (3;4).$ví dụ như 8: Tìm miền xác định của hàm số: $y = sqrt log _3left( sqrt x^2 – 3x + 2 + 4 – x ight) .$

Hàm số xác minh khi: $left{ eginarray*20lx^2 – 3x + 2 ge 0\sqrt x^2 – 3x + 2 + 4 – x ge 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 1: mhoặc:x ge 2\sqrt x^2 – 3x + 2 ge x – 3endarray ight.$Giải $sqrt x^2 – 3x + 2 ge x – 3$, ta có: $left{ eginarray*20lx^2 – 3x + 2 ge 0\x le 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx le 1\2 le x le 3endarray ight.$ hoặc $left{ eginarray*20lx ge 3\x^2 – 3x + 2 ge (x – 3)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx ge 3\3x ge 7endarray ight.$ $ Leftrightarrow x ge 3.$ Suy ra $left< eginarray*20lx le 1\x ge 2endarray ight.$Vậy $D = ( – infty ,1> cup <2, + infty ).$

ví dụ như 9: Tìm tập xác định của hàm số: $y = sqrt log _2left( frac11 – x – frac11 + x ight) .$

Hàm số khẳng định khi:$left{ eginarray*20lx e pm 1\frac11 – x – frac11 + x > 0\log _2left( frac11 – x – frac11 + x ight) ge 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx e pm 1\frac2x1 cdot x^2 > 0\frac2x1 – x^2 ge 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx e pm 1\fracx^2 + 2x – 11 – x^2 ge 0endarray ight.$Xét vệt của $P.. = fracx^2 + 2x – 11 – x^2$ bằng phương thức khoảng:

*

Vậy tập xác minh của hàm số là $D = < – 1 – sqrt 2 , – 1) cup < – 1 + sqrt 2 ,1).$

lấy ví dụ như 10: Tìm tập xác định của hàm số: $y = 2^sqrt – $ $ + sqrt frac – log _0,3(x – 1)sqrt x^2 – 2x – 8 .$

Hàm số xác minh khi:$left{ eginarray*20l8 – x\x – 1 > 0\log _0,3(x – 1) le 0\x^2 – 2x – 8 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l(x – 3)^2 ge (8 – x)^2\x > 1\x – 1 ge 1\x 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow x ge frac112.$Vậy $D = left< frac112, + infty ight).$

lấy ví dụ 11: Với những giá trị làm sao của $m$ thì hàm số dưới đây xác minh với đa số $x ∈ R$: $y = log sqrt cos 2x + mcos x + 4 .$

Đặt $t = cos x$, $ – 1 le t le 1$, ta có: $cos 2x + mcos x + 4$ $ = 2cos ^2x – 1 + mcos x + 4$ $ = 2t^2 + mt + 3.$Hàm số đã đến khẳng định với đa số $x$ thuộc $R$ khi còn chỉ khi $2t^2 + mt + 3 > 0$ $forall t in left< – 1,1 ight>.$Đặt $f(t) = 2t^2 + mt + 3$, ta có:$f(t) > 0$ $forall t in left< – 1,1 ight>$ $ Leftrightarrow left< eginarraylDelta left{ {eginarray*20lDelta ge 0\{left< eginarray*20c – 1 t_1 le t_2 endarray ight.endarray ight.endarray ight.:left( 2 ight)$Ta có: $Delta = m^2 – 24$, $f(1) = m + 5$, $f( – 1) = – m + 5.$Dấu $Δ$:

*

$(1) Leftrightarrow – 2sqrt 6 $left( 2 ight) Leftrightarrow left{ eginarraylm le – 2sqrt 6 : mhoặc:m ge 2sqrt 6 \left{ eginarray*20lf(1) > 0\fracs2 – 1 > 0endarray ight.: mhoặc:left{ {eginarray*20lf( – 1) > 0\fracs2 + 1 endarray ight.endarray ight.$$left{ eginarray*20lf(1) > 0\fracs2 – 1 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lm + 5 > 0\ – fracm4 – 1 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow – 5 $left{ {eginarray*20lf( – 1) > 0\fracs2 + 1 endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ {eginarray*20c – m + 5 > 0\ – fracm4 + 1 endarray ight.$ $ Leftrightarrow 4 Suy ra $(2) Leftrightarrow left< {eginarray*20l{ – 5 2sqrt 6 le m endarray ight.$Hợp những tập nghiệm sinh hoạt $(3)$ cùng $(4)$ ta có $ – 5 Vậy $D = ( – 5;5).$

lấy một ví dụ 12: Tìm tập khẳng định của hàm số: $y = sqrt log _3left( frac1 + log _a^2x1 + log _ax ight) .$

Hàm số xác định khi:$log _3left( frac1 + log _a^2x1 + log _ax ight) ge 0$ $ Leftrightarrow frac1 + log _a^2x1 + log _ax ge 1$ $ Leftrightarrow fraclog _a^2x – log _ax1 + log _ax ge 0$ $ Leftrightarrow left{ {eginarray*20llog _ax ge 1\ – 1 endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylleft{ eginarraylx ge a\frac1a endarray ight.: mnếu:a > 1\left{ eginarrayl0 1 le x endarray ight.: mnếu:0 endarray ight.$Vậy:+ Với $a>1$: $D = left( frac1a,1 ight> cup : Tìm các quý hiếm của m nhằm hàm số $y = frac1sqrt log _3left( x^2 – 2x + 3m ight) $ xác định $forall x in R.$

Hàm số xác định $forall x in R$ khi $log _3left( x^2 – 2x + 3m ight) > 0$ $ Leftrightarrow x^2 – 2x + 3m > 1$ $ Leftrightarrow quad x^2 – 2x + 3m – 1 > 0$ $forall x in R.$Vì $a = 1 > 0$ nên $Delta ‘ frac23.$Với $m > frac23$, hàm số đang cho xác định $forall x in R.$

lấy ví dụ như 14: Cho hàm số $y = fracsqrt mx – m + 1 log left< (m – 1)x – m + 3 ight>.$a) Tìm tập xác minh của hàm số lúc $m = 2.$b) Tìm các quý giá của $m$ làm thế nào để cho hàm số xác định $forall x ge 1.$

a) Với $m = 2$ ta có $y = fracsqrt 2x – 1 log (x + 1)$ xác minh khi $left{ eginarray*20lx ge frac12\x + 1 > 0\x + 1 e 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow x ge frac12.$Vậy $D = left< frac12, + infty ight).$b) Hàm số xác minh với mọi $x ge 1$ lúc và chỉ khi $left{ eginarray*20l mx – m + 1 ge 0:(1)\(m – 1)x – m + 3 > 0:(2)\(m – 1)x – m + 3 e 1:(3)endarray ight.$ $forall x ge 1.$Giải bất phương trình, ta có:$(1) Leftrightarrow left< {eginarray*20lleft eginarray*20lm = 0\x in Rendarray ight.\m > 0\x ge fracm – 1m = 1 – frac1mendarray ight.$$(1)$ tất cả tập nghiệm là:+ Nếu $m = 0$ thì $s_1 = R.$+ Nếu $m > 0$ thì $s_1 = left< fracm – 1m, + infty ight).$Nếu $m = 1$ thì $(2)$ và $(3)$ phần lớn vừa lòng điều kiện.Nếu $m Nếu $m > 1$ thì $(2) Leftrightarrow x > fracm – 3m – 1.$Vì $fracm – 3m – 1 1$ nên $(2)$ thỏa $forall x ge 1.$Với $m > 1$ thì $(3) Leftrightarrow x e fracm – 2m – 1$ thỏa $forall x ge 1.$Đáp số: $m ge 1.$